MATEMÁTICAS 10° 2021

Curso 10-14 Esp. Jaime Londoño Arias

Descargar Guía 2° periodo

Plazo hasta las 12 pm (noche), miércoles 1 de Septiembre. luego se deshabilita.

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2° PERIODO DE TRIGONOMETRÍA.

hola, saludos , espero que este nuevo período sea mejor para todos.

link https://meet.google.com/jit-stjg-bih

celular del docente 3242528743

favor avisar a los compañeros. Sean cumplidos

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Actividad 2 TEOREMA DEL SENO

Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.

la ley de senos, es la siguiente:

ley de senos 1

$\displaystyle \frac{a}{\text{sen }A}=\frac{b}{\text{sen }B}=\frac{c}{\text{sen }C}$

Aplicaciones

Este teorema es útil para resolver problemas si los datos dados entran en alguno de los siguientes casos:

1 Si tenemos las medidas de 2 lados de un triángulo, y el ángulo opuesto a uno de

ellos.

teorema del seno

Aplicando el teorema inmediatamente puedo obtener el ángulo opuesto al otro lado que conocemos

2 Si tenemos las medidas de 2 ángulos de un triángulo, y el lado opuesto a uno de ellos.

teorema del seno
Aplicando el teorema inmediatamente puedo obtener el lado opuesto al otro ángulo que conocemos.

3 También se puede aplicar cuando se conocen 2 ángulos del triángulo y un lado que no es opuesto a ninguno de ellos, sólo que requiere un paso extra, que es obtener el otro ángulo del triángulo.
teorema del seno
Esto es posible porque sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
Por ejemplo, en la imagen de arriba, el ángulo B se obtiene de restar los otros 2 ángulos a 180:

$\measuredangle B =180° -\alpha-\beta$

Ignorando uno de los ángulos dados originalmente, ya tenemos los datos de 2 ángulos y el lado opuesto de uno de ellos, como el segundo caso mencionado en las aplicaciones.

teorema del seno
problema explicado

En el triángulo ABC, b = 15 cm, <B = 42°, y <C = 76°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes

Solución: Si observamos, podemos ver que nuestro triángulo tiene dos ángulos y un solo lado, por lo cual podemos aplicar la ley de senos, sin embargo, podemos realizar un análisis sencillo para hallar el otro ángulo desconocido, tomando en cuenta que; la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo deben sumar 180°.

$\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180{}^\circ$

Colocando, los datos que tenemos en nuestro triángulo.

$\displaystyle \angle A+42{}^\circ +76{}^\circ =180{}^\circ$

$\displaystyle \angle A+118{}^\circ =180{}^\circ$

$\displaystyle \angle A=180{}^\circ -118{}^\circ =62{}^\circ$

Por lo que el ángulo en A, es de 62 grados.

$\displaystyle \angle A=62{}^\circ$

Ahora tenemos que encontrar el valor de las longitudes de a y c, para ello recurriremos a la fórmula:

$\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}$

Si observamos, nos interesa encontrar el valor del lado a y c, y ya tenemos a nuestra disposición cuanto equivalen los ángulos opuestos a esos lados, por lo cual, puedo tomar la igualdad que yo desee.

Supongamos que necesito encontrar el lado a entonces, hacemos:

$\displaystyle \frac{a}{sen62{}^\circ }=\frac{b}{sen42{}^\circ }$

Por lo que sustituyendo procedemos a despejar.

$\displaystyle a=\frac{b\cdot sen62{}^\circ }{sen42{}^\circ }=19.79cm$

Listo…! hemos encontrado el valor del lado a.

Ahora encontremos el lado restante.

$\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{c}{senC}$

$\displaystyle \frac{19.79cm}{sen62{}^\circ }=\frac{c}{sen76{}^\circ }$

despejando a “c”

$\displaystyle c=\frac{(19.79cm)(sen76{}^\circ )}{sen62{}^\circ }$

realizando la operación:

$\displaystyle c=\frac{(19.79cm)(sen76{}^\circ )}{sen62{}^\circ }=21.75cm$

por lo que el lado restante “c” mide 21.75 cm.

2do problema explicado

En este ejemplo a diferencia del anterior, no disponemos de dos ángulos, solamente de dos lados, por lo cual no podemos sumar los ángulos internos, e iniciar el proceso como se hizo anteriormente.

Pero el problema nos proporciona un lado p = 12cm, y el ángulo opuesto a éste de 76°, por lo que podemos obtener otro ángulo, mediante la fórmula de senos.

$\displaystyle \frac{p}{senP}=\frac{m}{senM}=\frac{n}{senN}$

podemos elegir que ángulo deseamos encontrar, para este ejemplo, usaremos la igualdad:

$\displaystyle \frac{p}{senP}=\frac{m}{senM}$

despejando a Sen M

$\displaystyle SenM=\frac{m\cdot senP}{p}$

Sustituyendo nuestros valores en la fórmula, obtenemos:

Ley de Senos – Ejercicios Resueltos

Por: Carlos julián

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ley de senos

El descubrimiento de la ley de senos dio gran paso a grandes descubrimientos de la geometría plana, y con ello la solución a muchos problemas que implicaban el cálculo de longitudes y ángulos, es por ello que el día de hoy hablaremos exclusivamente sobre la ley de senos, y de como aplicarlo a un caso especial para la primera condición de equilibrio.

Una de las cosas que debemos saber acerca de la ley de senos, es que solo es aplicable a triángulos oblicuángulos, es decir aquellos triángulos los cuales no tienen ningún ángulo recto o de 90°.

También debemos considerar dos puntos importantes, para poder utilizar dicha ley, y consiste en aplicarla solo cuando nos encontramos bajo los siguientes dos casos:

Cuando los datos conocidos son dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Cuando se tenga dos ángulos y cualquier lado.

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Fórmula para la Ley de Senos

La fórmula para resolver ejercicios de triángulos mediante la ley de senos, es la siguiente:

$\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}$

También podemos emplear la misma fórmula, pero recíproca, es decir:

$\displaystyle \frac{senA}{a}=\frac{senB}{b}=\frac{senC}{c}$

ley de senos 1

Ejemplos resueltos de la Ley de Senos

1.- En el triángulo ABC, b = 15 cm, <B = 42°, y <C = 76°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes

$\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180{}^\circ$

Colocando, los datos que tenemos en nuestro triángulo.

$\displaystyle \angle A+42{}^\circ +76{}^\circ =180{}^\circ$

$\displaystyle \angle A+118{}^\circ =180{}^\circ$

$\displaystyle \angle A=180{}^\circ -118{}^\circ =62{}^\circ$

Por lo que el ángulo en A, es de 62 grados.

$\displaystyle \angle A=62{}^\circ$

Ahora tenemos que encontrar el valor de las longitudes de a y c, para ello recurriremos a la fórmula:

$\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}$

Supongamos que necesito encontrar el lado a entonces, hacemos:

$\displaystyle \frac{a}{sen62{}^\circ }=\frac{b}{sen42{}^\circ }$

Por lo que sustituyendo procedemos a despejar.

$\displaystyle a=\frac{b\cdot sen62{}^\circ }{sen42{}^\circ }=19.79cm$

Listo…! hemos encontrado el valor del lado a.

Ahora encontremos el lado restante.

$\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{c}{senC}$

$\displaystyle \frac{19.79cm}{sen62{}^\circ }=\frac{c}{sen76{}^\circ }$

despejando a “c”

$\displaystyle c=\frac{(19.79cm)(sen76{}^\circ )}{sen62{}^\circ }$

realizando la operación:

$\displaystyle c=\frac{(19.79cm)(sen76{}^\circ )}{sen62{}^\circ }=21.75cm$

por lo que el lado restante “c” mide 21.75 cm.

2do problema

Solución

En este ejemplo a diferencia del anterior, no disponemos de dos ángulos, solamente de dos lados, por lo cual no podemos sumar los ángulos internos, e iniciar el proceso como se hizo anteriormente.

Pero el problema nos proporciona un lado p = 12cm, y el ángulo opuesto a éste de 76°, por lo que podemos obtener otro ángulo, mediante la fórmula de senos.

$\displaystyle \frac{p}{senP}=\frac{m}{senM}=\frac{n}{senN}$

podemos elegir que ángulo deseamos encontrar, para este ejemplo, usaremos la igualdad:

$\displaystyle \frac{p}{senP}=\frac{m}{senM}$

despejando a Sen M

$\displaystyle SenM=\frac{m\cdot senP}{p}$

Sustituyendo nuestros valores en la fórmula, obtenemos:

$\displaystyle SenM=\frac{m\cdot senP}{p}=\frac{(8cm)sen(76{}^\circ )}{12cm}=0.6469$

sacando la inversa del seno, para encontrar el ángulo, tenemos:

$\displaystyle se{{n}^{-1}}M=0.6469$

$\displaystyle M=40{}^\circ .18$

Ahora, como sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°, encontremos el ángulo faltante.

$\displaystyle 180{}^\circ =\angle M+\angle N+\angle P$

$\displaystyle 180{}^\circ =40.18{}^\circ +76{}^\circ +\angle P$

$\displaystyle \angle N=180{}^\circ -40.18{}^\circ -76{}^\circ$

$\displaystyle \angle N=63.42{}^\circ$

Por lo que el ángulo restante, es de 63.42°

El siguiente lado que nos falta por encontrar, lo volveremos hacer con la ley de senos.

$\displaystyle \frac{p}{senP}=\frac{n}{senN}$

Despejando a ” n”.

$\displaystyle n=\frac{p\cdot senN}{senP}$

Sustituyendo nuestros valores en la fórmula:

$\displaystyle n=\frac{(12cm)\cdot sen(63.42{}^\circ )}{sen(76{}^\circ )}=11.09cm$

Por lo que el valor de n = 11.09 cm.

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Actividad 1 PROBLEMAS CON ANGULOS DE ELEVACION Y DE DEPRESION junio 17-25

Descargar Explicación1

Explicacion2

Explicación 3

Descargar taller de ángulos de elevación y depresión

debes entregar el taller consignado en el cuaderno con lapicero negro. En el cuaderno y en el correo escribe tu nombre completo, el curso y el nombre de Guía Taller 1. mándalo únicamente a: j.londonoinem@gmail.com

si ya envió la tarea no requiere que la envíe otra vez.

Nota. Para la la clase de mañana es urgente y obligatorio tener calculadora y saberla usar

de aqui para abajo son actividades viejas del 1er periodo

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Obligatorio leer y cumplir

Descargar instrucciones tareas

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Marzo 8-15 de 2021

Actividad # 5 TEOREMA DE PITÁGORAS.

Se aplica en los triángulos rectángulos y sirve para encontrar el valor de un lado, sabiendo los otros 2 lados.

video explicación

descargar guía y taller aquí. plazo hasta el 20 de marzo

Encuentro virtual lunes marzo 8 8:00 am

link https://meet.google.com/fht-rhjz-weu

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Marzo 22

Actividad # 6 ANGULOS

Qué es un radián? | Sistema Sexagésimal | Sistema cíclico

Convertir un Ángulo a Grados, Minutos y Segundos

Convertir grados a radianes

Convertir radianes a grados

tarea:

Descargar taller de ángulos

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Abril 5 -20

Actividad 7 RAZONES TRIGONOMETRICAS

Dado un triángulo rectángulo, llamaremos razones trigonométricas de cualquiera de sus ángulos agudos al seno, al coseno y a la tangente. Las definiremos del siguiente modo:

Seno

Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto adyacente o contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B.

Son las relaciones que se dan entre los lados

Explicacion

https://ekuatio.com/apuntes-de-matematicas/trigonometria/resolucion-de-triangulos-rectangulos/

TAREA: Actividad 7: Razones trigonométricas

Calcular el valor de x de cada figura utilizando las razones trigonométricas vistas:

NOTA: la tarea se manda al correo asi:

para: d.ine.jaime.londono@cali.edu.co

Asunto: 10-14, razones trigonometricas, nombre suyo

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las tareas sólo se mandan a mi correo: d.ine.jaime.londono@cali.edu.co El celular 3242528743

compañeros, los saludo con mucho cariño y deseo que juntos podamos construir una nueva etapa de aprendizaje basado en el mundo de la trigonometría. una rama importante de las matemáticas.

me gustraría antes de iniciar las clases que ustedes, a conciencia y sin la presión de una nota, contestaran una prueba para yo saber cómo están y así conocerlos y aplicar las estrategias que más convengan.

1er Periodo académico: febrero 1 al 7 de mayo del 2021

Estándar:

*Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

* Reconoce una función polinómica, tabula, gráfica y comprende lo que representa.

* Analizo en representaciones algebraicas, gráficas y tabulares los comportamientos de cambio de las funciones elementales de la matemática.

Derechos básicos de aprendizaje:

* Utiliza las propiedades de los números reales para justificar

procedimientos y diferentes representaciones de subconjuntos de ellos. (DBA#1)

* Reconoce la familia de las funciones logarítmicas f(x) = loga (x) junto con su dominio, rango, propiedades y gráficas. (DBA#3).

* Reconoce características generales de las funciones polinómicas observando regularidades. (DBA#8)

Niveles de desempeño:

Básico:

* Reconoce el significado de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo para ángulos agudos, en particular, seno, coseno y tangente.

* Calcula algunos valores de las razones seno y coseno para ángulos no agudos, auxiliándose de ángulos de referencia inscritos en el círculo unitario.

Alto:

* Justifica el cómo y por qué para llegar a una solución de situaciones problema que involucran triángulos de cualquier clase.

Superior:

* Justifica la elección de métodos e instrumentos para la solución de un problema en contextos geométricos y trigonométricos.

* Desarrolla y aplica diferentes estrategias para la solución de un problema que involucran situaciones con triángulos de diferentes clases.

---------------------------------------------------------------Actividad 1 semana del 8-12 febrero

descargar prueba diagnóstica

Plazo hasta febrero 19

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Actividad 2 semana del 15- 20 febrero

descargue aquí Repaso de Números Reales

haga click en taller de numeros racionales
explicacion

Encuentro virtual martes 16 de febrero 1:30 pm

link: https://meet.google.com/hgh-nkdq-sat

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Febrero 22 / 2021
Encuentro virtual Lunes 22 de febrero 10:30 a.m
link : https://meet.google.com/bcj-bqyp-acj

Actividad 3 Funciones de feb 22 a marzo 5
MATERIAL DE APOYO (EXPLICACIÓN)
Descargar Guía No. 1
tarea # 1: T Taller #1 Descargar cuestionario funciones

VIDEO 1
VIDEO 2
VIDEO 3

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Actividad 2 FUNCION LINEAL
descargar guía funcion lineal

VIDEO 4

Tarea # 2  Graficas de función Lineal
Recuerde que y= f(x) es lo mismo.
A. Graficar, usando tabulaciones
1. y= x+2
2. y= x-3
3. f(x) = 2x+1
4. f(x) = 2x-2
5. y= x +4

B. Identifique la pendiente y el punto de corte en el eje y

Función lineal
Pendiente
Corta al eje y en:
1 ) Y = x - 5
                  - 5
2) Y= 2x + 7
2

3) Y= 5x -2

4) Y = x -4

5) Y= 3x-2

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Actividad 3  GRAFICA LINEAL SIN TABULACIONES
A veces podemos graficar una recta conociendo la pendiente y el punto de corte en el eje y, No se requiere tabular

Explicación enlace: https://www.youtube.com/watch?v=9Gwpz1EPzqc

Tarea 3  Grafica lineal sin tabular
halle la pendiente, y el punto de corte en el eje y, y grafique segun se explica en el video 1 y 2
1) y= x+4, entonces m= 1 y corta en eje..y = 4 luego se grafica...
2) y= 2/5 x -3
3) y= 5x +2
4) y= 3x - 4
5) y= -3/2 x + 1

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Actividad 4    Ecuación de la recta, punto pendiente y ordenada

Me dan la pendiente y la ordenada o punto de corte:
Tarea 4. Hallar la ecuación de la recta.


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  Actividad 5  FÓRMULA PARA ENCONTRAR UNA PENDIENTE
Necesitamos 2 puntos para usar una fórmula y encontrar la pendiente .

En x, hay un cambio de posición de X₁hasta X₂
En y, hay un cambio de posición de Y₁hasta Y₂
Una forma de expresar el cambio en x es : X₂-   X₁
Una forma de expresar el cambio en y es:   Y₂-Y₁

Explicación en el video

enlace: https://www.youtube.com/watch?v=mH6CyTXczd0

Usar la fórmula de la pendiente
Paso 1. Utilicemos la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos

TAREA # 5   Hallar la pendiente
¡Practiquemos!
1.   Utiliza la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2, 5) y (6,8)
2.  Utiliza la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,−3) y (−4,3)
3.  Utiliza la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (−5,−7) y (−2,−1)

------------------------------------------------------------------Actividad 6  Ecuación de la recta.

La ecuación punto-pendiente de la recta se plantea si se conoce la pendiente de la recta y cualquiera de sus puntos, pues con ello queda determinada la recta:

explicacion en video:



https://www.youtube.com/watch?v=fQT_v2p71aA

TAREA # 6   Hallar la ecuación de la recta

1. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto(3,5) y su pendiente es 4
2. Encontrar la ecuación de una recta que pasa por el punto(2, 6) y su pendiente es 5
3. determine la ecuación de una re ta que pasa por los puntos
( 4,6) y (8,10)

4. Hallar la ecuacion de una recta que pasa por ( 3, 6) (5, 10)
5. hallar la ecuacion de una recta quepasa por el punto (-3, 5) y m= 4

Actividad 7 FUNCION CUADRÁTICA

1. Definición y ejemplo
Una función cuadrática (o parabólica) es una función polinómica de segundo grado. Es decir, tiene la forma
siendo $a \neq 0$ .
Esta forma de escribir la función se denomina forma general.
La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola.
Ejemplo
Las parábolas tienen forma de $\cup$ (si $a > 0$ ) o de $\cap$ (si $a < 0$ ).
Además de la orientación, el coeficiente $a$ es la causa de la amplitud de la función: cuanto mayor es $| a |$ , más rápido crece (o decrece) la parábola, por lo que es más cerrada.

2. Vértice
Las funciones cuadráticas tienen un máximo (si $a < 0$ ) o un mínimo (si $a > 0$ ). Este punto es el vértice de la parábola.
La primera coordenada del vértice es
Y la segunda coordenada es su imagen:
3. Puntos de corte con los ejes
Una parábola siempre corta el eje de ordenadas (eje Y) en un punto. Como esto ocurre cuando $x = 0$ , se trata del punto $(0, c)$ puesto que $f (0) = c$ .
Una función corta al eje de abscisas cuando $y = 0$ . Por tanto, para hallar estos puntos de corte, tenemos que resolver una ecuación cuadrática:
Como una ecuación cuadrática puede tener una, dos o ninguna solución, puede haber uno, dos o ningún punto de corte con el eje X.
Recordamos la fórmula que necesitamos:
Ejemplo
Calculamos los puntos de corte de la función
Los coeficientes de la ecuación son $a = 1$ , $b = 0$ y $c = - 1$ .
Eje Y:
El punto de corte con el eje Y es $(0, - 1)$ .
Eje X:
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
Hay dos soluciones: $x = 1$ y $x = - 1$ .
La segunda coordenada es $0$ .
Por tanto, tenemos los puntos de corte
Gráfica:

Ejemplo
Calculamos el vértice de la función
Identificamos los coeficientes:
Como $a$ es negativo, la parábola tiene forma de $\cap$ . El vértice es un máximo.
La primera coordenada del vértice es
Calculamos la segunda coordenada:
Por tanto, el vértice es el punto
Gráfica:
5. Problemas resueltos
Problema 1Calcular el vértice de la siguiente función parabólica:
Solución

Problema 2
Determinar los puntos de corte y el vértice de la siguiente función:
Solución

Problema 3
Determinar los puntos de corte y el vértice de la siguiente función:
Solución
Explicacion en videos

https://www.youtube.com/watch?v=gnAdna_tLK0

https://www.youtube.com/watch?v=J3qQWvxqFI4